• Zufallsvariable \(Z\)
  Bildet die möglichen Ereignisse aus \(\Omega\) auf \(\mathbb{R}\) ab, d.h. \(Z: \Omega \rightarrow \mathbb{R}\)
  • Diskrete Zufallsvariable \(X\)
    Hat nur maximal abzählbar viele mögliche Realisierungen. Jeder Realisierung \(x_i\) wird eine Wahrscheinlichkeit \(f(x_i) = P(X = x_i) > 0\) zugeordnet. Die Menge aller möglichen Realisierungen wird mit \(\mathcal{T}\) bezeichnet, d.h \(\sum_{x_i \in \mathcal{T}} f(x_i) = 1\)
  • Stetige Zufallsvariable \(Y\)
    Hat überabzählbar viele mögliche Realisierungen. Zu einer stetigen Zufallsvariable \(Y\) existiert eine Dichtefunktion \(f(t)\). Die stetige Zufallsvariable kann nur Werte \(t\) annehmen, an denen die Dichtefunktion \(f(t) > 0\) ist. Es gilt, dass \(\int_{-\infty}^{\infty}f(t)dt = 1\)
• Berechnung der Verteilungsfunktion \(F\)
  
  • Diskrete Zufallsvariable
    \(F(x) = \sum_{x_i \leq x} f(x_i), x_i \in \mathcal{T}\)
  • Stetige Zufallsvariable
    \(F(x) = \int_{-\infty}^x f(t) dt\)
• Berechnung von Wahrscheinlichkeiten
  
  • \(P(X \leq x) = F(x)\)
  • \(P(X > x) = 1 - F(x)\)
  • \(P(a \leq X \leq b) = F(b) - F(a)\)
• Berechnung von Quantilen:
  Das \(\alpha\)-Quantil \(q_\alpha\) ist die Realisierung der Zufallsvariable, sodass die Zufallsvariable mit Wahrscheinlichkeit \(\alpha\) kleiner als \(q_\alpha\) ist.
  • Diskrete Zufallsvariable
    \(q_\alpha = \inf \{ x \in \mathbb{R}: F(x) \geq \alpha \}\)
  • Stetige Zufallsvariable
    \(F(q_\alpha = \alpha) \Leftrightarrow \int_{-\infty}^{q_\alpha}f(t) dt = \alpha\)
• Berechnung von Erwartungswerten:
  Der Erwartungswert einer Funktion \(g\) einer Zufallsvariable \(X\) berechnet sich über
  • Diskrete Zufallsvariable:
    \(\mathbb{E}(X) = \sum_{x \in \mathcal{T}}g(x)f(x)\)
  • Stetige Zufallsvariable:
    \(\mathbb{E}(Y) = \int_{-\infty}^{\infty}g(t)f(t)dt\)
• Rechnen mit Erwartungswerten:
  
  • \(\mathbb{E}(aX + bY + c) = a\mathbb{E}(X) + b\mathbb{E}(X) + c\)
  • \(\mathbb{E}(X^2) + \mathbb{E}(X)^2 = \text{Var}(X)\)
  • \(\text{Var}(aX) = a^2\text{Var}(X)\)