Beispiel: Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Informationen auf der Verpackung (siehe hier):

Sensitivität : \(P(\text{pos.} ~ \text{Test} \vert \text{krank}) := \text{sensi}\)
Spezifität : \(P(\text{neg.} ~\text{Test} \vert \text{gesund}) := \text{spezi}\)

Das Individuum interessiert sich für:

(I) \(P(\text{krank} \vert \text{pos. Test}) = 1 - P(\text{gesund} \vert \text{pos. Test})\)
(II) \(P(\text{gesund} \vert \text{neg. Test}) = 1 - P(\text{krank} \vert \text{neg. Test})\)

zu (I) (auch PPV):

(Verwende den Satz von Bayes) \[ \begin{darray}{rcl} P(\text{krank} \vert \text{pos. Test}) P(\text{pos. Test}) & = & P(\text{pos. Test} \vert \text{krank})P(\text{krank}) \Leftrightarrow \\ P(\text{krank} \vert \text{pos. Test}) & = & \frac{\text{sensi}~P(\text{krank})}{P(\text{pos. Test})} \end{darray}\]

Berechne \(P(\text{pos. Test})\): (Verwende den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
\[ \begin{darray}{rcl} P(\text{pos. Test}) & = & P(\text{pos. Test} \vert \text{krank}) & P(\text{krank}) & + & P(\text{pos. Test} \vert \text{gesund}) & P(\text{gesund}) \\ & = & \text{sensi} & P(\text{krank}) & + & (1 - \text{spezi}) & (1 - P(\text{krank})) \\ & = & (\text{sensi} + \text{spezi} - 1) & P(\text{krank}) & + & 1 -\text{spezi} \end{darray}\]
Einsetzen ergibt:
\[P(\text{krank} \vert \text{pos. Test}) = \frac{\text{sensi}~P(\text{krank})}{(\text{sensi} + \text{spezi} - 1)P(\text{krank}) + 1 -\text{spezi}}\]

zu (II) (auch NPV):

(Verwende den Satz von Bayes) \[ \begin{darray}{rcl} P(\text{gesund} \vert \text{neg. Test}) P(\text{neg. Test}) & = & P(\text{neg. Test} \vert \text{gesund})P(\text{gesund}) \Leftrightarrow \\ P(\text{gesund} \vert \text{neg. Test}) & = & \frac{\text{spezi}~P(\text{gesund})}{P(\text{neg. Test})} \end{darray}\]

Berechne \(P(\text{neg. Test})\): (Verwende den Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit)
\[ \begin{darray}{rcl} P(\text{neg. Test}) & = & P(\text{neg. Test} \vert \text{krank}) & P(\text{krank}) & + & P(\text{neg. Test} \vert \text{gesund}) & P(\text{gesund}) \\ & = & (1 - \text{sensi}) & P(\text{krank}) & + & \text{spezi} & (1 - P(\text{krank})) \\ & = & (1 - \text{sensi} - \text{spezi}) & P(\text{krank}) & + & \text{spezi} \end{darray}\]
Einsetzen ergibt:
\[P(\text{gesund} \vert \text{neg. Test}) = \frac{\text{spezi}~(1 - P(\text{krank}))}{(1 - \text{sensi} - \text{spezi})P(\text{krank}) + \text{spezi}}\]

Um die gewünschten Wahrscheinlichkeiten zu berechnen fehlt noch:

Prävalenz: \(P(\text{krank}) = \frac{Anzahl~aktuell~Kranker}{Bevölkerungsgröße}\)

Beispielrechnung

Der Seite des RKI entnehmen wir, dass es am 06. Feb. 2021 insgesamt 193400 aktive Fälle gibt. Wir nehmen an, dass dem RKI 10% aller Fälle bekannt sind. Von der Seite des Bundesgesundheitsministeriums suchen wir uns einen Antigen-Test-Schnelltest aus, sodass wir folgende Werte erhalten:

Prävalenz: \(P(\text{krank}) \approx \frac{193400 \times 10}{83000000} \approx 0.023 = 2,3\%\)
\(P(\text{pos. Test}) = 0.023\)
\(P(\text{neg. Test}) = 0.977\)
PPV: \(P(\text{krank} \vert \text{pos. Test}) = 0,914 = 91,4\% \)
NPV: \(P(\text{gesund} \vert \text{neg. Test}) = 0,998 = 99,8\% \)

Nun nehmen wir an, dass dem RKI 50% aller Fälle bekannt sind:

Prävalenz: \(P(\text{krank}) \approx \frac{193400 \times 2}{83000000} \approx 0.004 = 0,4\%\)
\(P(\text{pos. Test}) = 0.005\)
\(P(\text{neg. Test}) = 0.995\)
PPV: \(P(\text{krank} \vert \text{pos. Test}) = 0,647 = 64,7\% \)
NPV: \(P(\text{gesund} \vert \text{neg. Test}) = 0.999 = 99,9\% \)